濒临蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的城市，叫做哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）。

布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。

一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：

谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？

这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。连以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。

哥尼斯堡七桥问题传开后，引起了大数学家欧拉的兴趣。欧拉没有去过哥尼斯堡，这一次，他也没有去亲自测试可能的路线。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间，实际上．欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。

剖析一下欧拉的解法是饶有趣味的。

第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个合适的"数学模型"。他想：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小。形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。

7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。

就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个"一笔画"问题。怎样不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复地画出一个几何图形的问题。

原先，人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许根本不存在的。如果根本不存在，硬要去寻找它岂不是白费力气！于是，欧拉接下来着手判断：这种不重复的路线究竟存在不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质。

最后，欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征。

欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。

在七桥问题的几何图中，A、B、C三点分别与3条线相连，D点与5条线相连。连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的。也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！

相传欧拉在解决了七桥问题之后，曾仿照它编了一个"十五桥问题"。有兴趣的读者不妨做做。

七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前的几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位。面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。

很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。欧拉认为对这类问题的研究，属于一门新的几何学分支，他称之为"位置几何学"。但人们把它通俗地叫做"橡皮几何学"。后来，这门数学分支被正式命名为"拓扑学"。

欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声。

１７５０年，欧拉又发现了一个有趣的现象。正４面体有４个顶点、６条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于２；正６面体有８个顶点、１２条棱，于是，它的面数加顶点数减去棱数也等于2。接着，欧拉又考察了正１２面体、正２４面体，发现都有相同的结论。于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理：

Ｆ（面数）＋Ｖ（顶点数）－Ｅ（棱数）=２

有人说，这是拓扑学的第一个定理。

拓扑学中有许多非常奇妙的结论。取一张小纸条，将纸条的一端扭转180⁰，再与纸条的另一端粘合起来，就做成了一个小"梅比乌斯带"。别看这个小纸条制作起来挺简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中的虚线一直往前爬，那么，这只蚂蚁就可以一直爬遍纸带的两个面。即使沿虚线将梅比乌斯带剪开，它也不会断开，仅仅只是长度增加了一倍而已。

"走迷宫"是一种非常有趣的数学游戏，实际上，它是拓扑学里一种很简单的封闭曲线。法国数学家约当指出：要判断一个点在迷宫的内部还是外部，有一种很巧妙的方法。这就是：先在迷宫的最外面找一点，用直线将这两个点连接起来，然后再考察直线与封闭曲线相交的次数。如果相交次数是奇数，则已知点在迷宫的内部，从这里是走不出迷宫的；反之则一定能走出迷宫。

在欧拉之后，人们又陆续发现了一些拓扑学定理。但这些知识都很零碎，直到１９世纪的最后几年里，法国数学家庞加莱开始系底地研究拓扑学，才奠定了这门数学分支的基础。

现在，拓扑学已成为20世纪最丰富多彩的一门数学分支。